Question

a,b,c nguyên dương và a+b+c=1. chứng minh rằng \(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{c}\right)>=64\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\) (1)

Thay \(1=a+b+c\) kết hợp với bất đẳng thức AM-GM:

\((a+1)(b+1)(c+1)=(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)\)

\(=[(a+b)+(a+c)][(b+c)(b+a)][(c+a)+(c+b)]\)

\(\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}.2\sqrt{(b+c)(b+a)}.2\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

\(\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

\((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\)

Suy ra \((a+1)(b+1)(c+1)\geq 64abc\) (2)

Từ (1);(2) ta có \(\text{VT}\geq 64\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)