Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

DA

1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a) >= 2/(a + 2b + c) + 2/(a + b + 2c) + 2/(2a + b + c)

NL
8 tháng 4 2023 lúc 19:40

BĐT chỉ đúng trong trường hợp a;b;c dương.

Với mọi số thực dương x;y ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+b+b+c}=\dfrac{4}{a+2b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}\)

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)

Cộng vế và rút gọn:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{a+b+2c}+\dfrac{2}{2a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
HM
Xem chi tiết
PP
Xem chi tiết
LN
Xem chi tiết
DV
Xem chi tiết
TP
Xem chi tiết
MP
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
HD
Xem chi tiết
NY
Xem chi tiết