Question

1. Cho biểu thức P = \(\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+1\) (với x > 0)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Cho x=100, tính giá trị của P

c) Tìm GTNN của P

2. Cho biểu thức A=\(\left(\frac{x+\sqrt{9x}-1}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1}{x-1}\) (với x \(\ge\) 0, x \(\ne\) 1)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm số tự nhiên x để \(\frac{1}{A}\) là số tự nhiên

Answer 1

1, a, ĐKXĐ: x > 0

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}-\left(2\sqrt{x}+1\right)+1\)

\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x-\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+1\)

\(\Rightarrow P=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-2\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow P=x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow P=x-\sqrt{x}\)

b, Thay x=100 vào biểu thức P, ta có:

P= 100 - \(\sqrt{100}\)

\(\Rightarrow P=100-10=90\)

Vậy với x=100 thì P=90

c, Ta có: P= \(x-\sqrt{x}=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi...

2, a, ĐKXĐ: x \(\ge\) 0, x \(\ne\) 1

\(\Rightarrow A=\left(\frac{x+3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1}{x-1}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{x+3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{x-1}{1}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{x+3\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{x-1}{1}\)

\(\Rightarrow\)A= \(\frac{x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{x-1}{1}\)= x-1

b, Để \(\frac{1}{A}\)là số tự nhiên (x \(\ge0\), \(x\ne1\))

\(\Rightarrow x-1=1\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy x=2 thì \(\frac{1}{A}\) là số tự nhiên.