Nói tóm lại là đề bài muốn tìm GTLN và GTNN của diện tích toàn phần hình hộp có thể tích 3 và đường chéo \(\sqrt{7}\)
Gọi 3 cạnh là x;y;z thì: \(\left\{{}\begin{matrix}xyz=3\\x^2+y^2+z^2=7\end{matrix}\right.\)
Diện tích: \(S=2xy+2yz+2zx\)
Bài toán khó nhất ở chỗ tìm được miền cho biến:
Ta có: \(7=x^2+y^2+z^2\ge x^2+2yz=x^2+\dfrac{6}{x}\)
\(\Rightarrow x^2-7x+6\le0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\le0\)
\(\Rightarrow1\le x\le2\)
\(S=2yz+2x\left(y+z\right)\ge2yz+2x.2\sqrt{yz}=\dfrac{6}{x}+2x.2\sqrt{\dfrac{3}{x}}=\dfrac{6}{x}+2\sqrt{3x}\)
Xét min, max hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{6}{x}+2\sqrt{3x}\) trên \(\left[1;2\right]\) là được, số khá là xấu
Có thể làm đẹp hàm hơn bằng cách đặt \(\sqrt{3x}=t\in\left[\sqrt{3};\sqrt{6}\right]\)
\(f\left(t\right)=\dfrac{18}{t^2}+2t\) với \(t\in\left[\sqrt{3};\sqrt{6}\right]\)
Rảnh nhìn lại thì làm theo cách trên chắc chết, do \(S\ge f\left(x\right)\) nên min max của f(x) chưa chắc là min max của S. Sai ngay từ tư duy ban đầu.
Đúng ra phải làm thế này:
Sau khi chứng minh đến đoạn \(1\le x\le2\), do vai trò x;y;z như nhau nên ta cũng có \(1\le y;z\le2\)
Do \(x;y;z\ge1\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz-\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2-\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2-\dfrac{S}{2}+\sqrt{S+7}\ge0\) (do \(x+y+z=\sqrt{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\))
\(\Leftrightarrow2\sqrt{S+7}\ge S-4\)
Do \(\dfrac{S}{2}=xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{xy.yz.zx}=3\sqrt[3]{9}>6\Rightarrow S>12\) nên vế phải luôn dương, bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow4\left(S+7\right)\ge S^2-8S+16\)
\(\Leftrightarrow S^2-12S-12\le0\)
\(\Rightarrow S\le6+4\sqrt{3}\)
Tương tự, do \(x;y;z\le2\)
\(\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-xyz+2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow5+S-4\sqrt{S+7}\ge0\)
\(\Leftrightarrow S+5\ge4\sqrt{S+7}\)
\(\Leftrightarrow S^2+10S+25\ge16\left(S+7\right)\)
\(\Leftrightarrow S^2-6S-87\ge0\)
\(\Rightarrow S\ge3+4\sqrt{6}\)
Vậy \(3+4\sqrt{6}\le S\le6+4\sqrt{3}\)
Nên \(M-m=50000.\left(3+4\sqrt{3}-4\sqrt{6}\right)\)
Lần này thì ko thể sai được, mà dài quá
