a.
Ta có: \(CA=CM\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(OA=OM=R\)
\(\Rightarrow OC\) là trung trực của AM
\(\Rightarrow OC\perp AM\)
Cũng do OC là trung trực của AM \(\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{COA}\)
Tương tự, ta có OD là trung trực của BM \(\Rightarrow\widehat{DOM}=\widehat{DOB}\)
\(\Rightarrow\widehat{COA}+\widehat{COM}+\widehat{DOM}+\widehat{DOB}=2\left(\widehat{COM}+\widehat{DOM}\right)\)
\(\Rightarrow180^0=2.\widehat{COD}\)
\(\Rightarrow\widehat{COD}=90^0\Rightarrow OD\perp OC\)
\(\Rightarrow AM||OD\) (cùng vuông góc OC)
b.
Do CD là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow OM\perp CD\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD với đường cao OM:
\(OM^2=CM.DM\Rightarrow CM.DM=R^2\)
Mà theo cmt OC là trung trực AM \(\Rightarrow CM=AC\); OD là trung trực BM \(\Rightarrow DM=BD\)
\(\Rightarrow AC.BD=R^2\)
c.
Gọi E là trung điểm CD, tam giác COD vuông tại O nên E là tâm đường tròn đường kính CD
Tứ giác ABDC là hình thang ( \(AC||BD\) do cùng vuông góc AB)
O là trung điểm AB, E là trung điểm CD
\(\Rightarrow EO\) là đường trung bình hình thang ABDC
\(\Rightarrow EO||AC\Rightarrow EO\perp AB\) tại O
\(\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)
=>\(\widehat{COD}=90^0\)
=>OC\(\perp\)OD
Ta có: CM=CA
=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)
ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM
=>OC\(\perp\)AM
Ta có: OC\(\perp\)AM
OC\(\perp\)OD
Do đó: AM//OD
b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
mà MC=CA và MD=DB và OM=R
nên \(AC\cdot BD=R^2\)
c: Gọi N là trung điểm của CD
=>N là tâm đường tròn đường kính CD
Ta có: ΔOCD vuông tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên NO=NC=ND
=>O nằm trên (N)
Xét hình thang ABDC có
O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD
ta có: ON//AC
AC\(\perp\)AB
Do đó: ON\(\perp\)AB
Xét (N) có
NO là bán kính
AB\(\perp\)NO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)
=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
