a: Xét tứ giác BEFC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\)
nên BEFC là tứ giác nội tiếp
=>B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
=>AB\(\perp\)BD
Ta có:BD\(\perp\)AB
CH\(\perp\)AB
Do đó: BD//CH
Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
=>CD\(\perp\)AC
Ta có: CD\(\perp\)AC
BH\(\perp\)AC
Do đó: BH//CD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HD
=>H đối xứng D qua I
c: Gọi giao điểm của AH với BC là M
Xét ΔABC có
BF,CE là các đường cao
BF cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại M
Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔAMB vuông tại M)
\(\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=90^0\)(ΔEBC vuông tại E)
Do đó: \(\widehat{BAM}=\widehat{BCE}\)(1)
Ta có: ΔEAH vuông tại E
mà EK là đường trung tuyến
nên KE=KH
=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)
mà \(\widehat{KHE}+\widehat{BAM}=90^0\)
nên \(\widehat{KEH}+\widehat{BAM}=90^0\)(2)
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EI là trung tuyến
nên IE=IC
=>\(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{KEH}+\widehat{IEC}=90^0\)
=>\(\widehat{KEI}=90^0\)
=>EK\(\perp\)EI
