Bài 1:
a: Xét ΔOAH vuông tại A và ΔOBH vuông tại B có
OH chung
\(\widehat{AOH}=\widehat{BOH}\)
Do đó: ΔOAH=ΔOBH
=>HA=HB
=>ΔHAB cân tại H
b: HA=HB
=>H nằm trên đường trung trực của AB(1)
OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OH là đường trung trực của AB
=>OH\(\perp\)AB
Xét ΔOAB có
OH,AD là đường cao
OH cắt AD tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔOAB
=>BC\(\perp\)OA
c: Xét ΔODA vuông tại D có \(cosDOA=\dfrac{DO}{OA}\)
=>\(\dfrac{DO}{OA}=cos60=\dfrac{1}{2}\)
=>OA=2OD
Câu 2:
a: M là trung điểm của AC
=>\(AM=MC=\dfrac{AC}{2}\)(1)
N là trung điểm của AB
=>\(AN=BN=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
ΔABC cân tại A
=>AB=AC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra AM=MC=AN=BN
Xét ΔBNC và ΔCMB có
NB=MC
\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\)
CB chung
Do đó:ΔBNC=ΔCMB
b: ΔBNC=ΔCMB
=>\(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
=>ΔKBC cân tại K
c: Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại K
Do đó: K là trọng tâm của ΔABC
=>BK=2MK
Xét ΔBKC có BC<KB+KC
=>BC<2BK=4MK