a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\AD\perp CD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
Mà \(SD\in\left(SCD\right)\Rightarrow CD\perp SD\)
b.
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\left(-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=-\overrightarrow{AB}^2+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC^2}=-a^2+a^2=0\Rightarrow BM\perp AC\) (1)
Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBM\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBM\right)\)
c.
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=1\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\)
Tương tự ta có \(\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{SCA}=30^0\)
d.
\(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\\BC\perp\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\) là góc giữa (SBC) và (ABCD)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\) mà \(SA\in\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\) hay góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 90 độ
