a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp CD\\AD\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BD\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)
b.
Do M, N là trung điểm SB, SD \(\Rightarrow\) MN là đường trung bình tam giác SBD
\(\Rightarrow MN||BD\)
Mà \(BD\perp\left(SAC\right)\) (cmt) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAC\right)\)
c.
K là trung điểm SA, M là trung điểm SB \(\Rightarrow KM\) là đường trung bình tam giác SAB
\(\Rightarrow KM||AB\)
Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\Rightarrow SA\perp KM\) (1)
Hoàn toàn tương tự ta có \(SA\perp KN\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow SA\perp\left(KMN\right)\)
d.
Từ A kẻ \(AH\perp SO\)
Do \(BD\perp\left(SAC\right)\) (cmt) \(\Rightarrow BD\perp AH\)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)
\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=2a\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.OA}{\sqrt{SA^2+OA^2}}=\dfrac{2a}{3}\)