Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(2n+3\right)-\left(4n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow5⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=5\end{matrix}\right.\)
Với \(d=5\Rightarrow4n+1=5k\)
\(\Rightarrow4\left(n-1\right)=5\left(k-1\right)\)
Do 4 và 5 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow n-1⋮5\Rightarrow n-1=5m\Rightarrow n=5m+1\)
Vậy với \(n\ne5m+1\) (\(m\in N\)) thì 2 số 2n+3 và 4n+1 nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi $d$ là ƯCLN của $(2n+3, 4n+1)$
Khi đó:
\(\left\{\begin{matrix} 2n+3\vdots d\\ 4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 2(2n+3)-(4n+1)\vdots d\)
\(\Leftrightarrow 5\vdots d\)
Do đó để $2n+3, 4n+1$ nguyên tố cùng nhau thì $4n+1$ không chia hết cho $5$
$\Leftrightarrow 4n+1-5n\not\vdots 5$
$\Leftrightarrow n-1\not\vdots 5$
$\Leftrightarrow n\neq 5k+1$ với $k$ tự nhiên.