Xét \(g\left(x\right)=2f\left(x^2-2x-1\right)-3\)
\(g'\left(x\right)=4\left(x-1\right)f'\left(x^2-2x-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2x-1=-2\\x^2-2x-1=0\\x^2-2x-1=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=1\left(\text{bội chẵn}\right)\\x=\left\{1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right\}\\x=\left\{-1;3\right\}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow g\left(x\right)\) có 5 cực trị
Xét pt \(g\left(x\right)=0\Leftrightarrow f\left(x^2-2x-1\right)=\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(t=x^2-2x-1\ge-2\)
Từ BBT ta thấy \(y=\dfrac{3}{2}\) cắt \(y=f\left(t\right)\) tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn \(t\ge-2\)
\(-2< t_1< 0< t_2< 2< t_3\)
- Xét \(x^2-2x-1=t\), từ đồ thị \(y=x^2-2x-1\) ta thấy \(y=t\) luôn cắt \(y=x^2-2x-1\) tại 2 điểm pb với \(t>-2\)
\(\Rightarrow\) Ứng với 3 giá trị t bên trên cho ta 6 giá trị x phân biệt
Hay phương trình \(g\left(x\right)=0\) có 6 nghiệm pb
\(\Rightarrow\) Hàm có \(5+6=11\) cực trị
