Bài 1: Căn bậc hai

HT
LH
26 tháng 6 2021 lúc 19:59

a)\(P=\dfrac{x+96}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\left(x-4\right)+100}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{100}{\sqrt{x}+2}=\left(\sqrt{x}+2+\dfrac{100}{\sqrt{x}+2}\right)-4\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right).\dfrac{100}{\sqrt{x}+2}}-4=16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+2=\dfrac{100}{\sqrt{x}+2}\Leftrightarrow x=64\)

Vậy \(P_{min}=16\)

b)Đk: x>0

 \(D=\dfrac{x+3\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+3+\dfrac{4}{\sqrt{x}}=\left(\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right)+3\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}+3=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{4}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=4\) 

Vậy \(D_{min}=7\)

c)Đk: \(x\ge0\)

\(P=\dfrac{x+55}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\left(x-9\right)+64}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}\)\(=\left(\sqrt{x}+3+\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}\right)-6\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}}-6=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+3=\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow x=25\)

Vậy \(P_{min}=10\)

d) \(x\ge0\)

\(A=\dfrac{2}{\sqrt{x}+5}\)  

A đạt GTNN khi \(\sqrt{x}+5\) đạt GTLN \(\Leftrightarrow\sqrt{x}\) đạt GTLN  (Không tồn tại x để \(\sqrt{x}\) đạt GTLN)

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của A( chỉ có GTLN)

e) Đk: \(x\ge2\)

\(A=x-2\sqrt{x-2}=\left(x-2\right)-2\sqrt{x-2}+1+1=\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x-2}-1=0\Leftrightarrow x=3\) (tm)

Vậy \(A_{min}=1\)

g) ĐK: \(x\ge0\)

\(G=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}=1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\)

Có \(\sqrt{x}+3\ge3;\forall x\ge0\) \(\Rightarrow\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\le\dfrac{5}{3}\)\(\Rightarrow1-\dfrac{5}{\sqrt{x}+3}\ge1-\dfrac{5}{3}\)\(\Leftrightarrow G\ge-\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=0 

Vậy \(G_{min}=-\dfrac{2}{3}\)

Bình luận (0)
KL
26 tháng 6 2021 lúc 19:48

\(P=\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\)

\(P=\sqrt{x}+2+\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}-4\)

Áp dụng BDT Cô-si ta có: 

\(\sqrt{x}+2+\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\ge2\sqrt{\sqrt{x}+2.\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}}\)

P ≥ \(2\sqrt{4}-4\)

MinP=0 ⇔\(\sqrt{x}+2=\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=2\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

 

Bình luận (1)
NT
26 tháng 6 2021 lúc 20:01

c) Ta có: \(P=\dfrac{x+55}{\sqrt{x}+3}\)

nên \(P=\dfrac{x-9+64}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}\)

\(\Leftrightarrow P=\left(\sqrt{x}+3+\dfrac{64}{\sqrt{x}+3}\right)+6\)

\(\Leftrightarrow P\ge2\cdot8+6=16+6=22\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}+3=8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\)

hay x=25

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
LT
Xem chi tiết
NT
Xem chi tiết
NN
Xem chi tiết
LA
Xem chi tiết
QS
Xem chi tiết
TQ
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
CP
Xem chi tiết
TA
Xem chi tiết