Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây :

a) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EG}\)

b) \(\overrightarrow{AF}\) và \(\overrightarrow{EG}\)

c) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DH}\)

Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB\perp CD\) và \(AC\perp DB\) thì \(AD\perp BC\)

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không ?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không ?

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C'A. Chứng minh rằng :

a) \(AB\perp CC'\)

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật 

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có \(\widehat{\:ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}\). Chứng minh rằng \(SA\perp BC;SB\perp AC;SC\perp AB\) ?

Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng \(AB\perp OO'\) và tứ giác CDD'C' là hình chữ nhật ?

Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

                       \(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^0\). Chứng minh rằng :

a) \(AB\perp CD\)

b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(MN\perp AB\) và \(MN\perp CD\)

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

                \(\overrightarrow{GD.}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}.\overrightarrow{GC}=0\)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng \(AB\perp CD\) ?