Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm thực duy nhất:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le5-2xy\\x+y+\sqrt{2xy+m}\ge3\end{matrix}\right.\)

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a²+b²+c²=3. Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{4}{a^2+b^2}+1\right)\left(\frac{4}{b^2+c^2}+1\right)\left(\frac{4}{a^2+c^2}+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)

gpt:

\(\sqrt{7x^2+25x+19}-\sqrt{x^2-2x-35}=7\sqrt{x+2}\)

Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+z^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

giải phương trình:

\(\sqrt{2x^2+3x-2}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{2x^2+11x-6}+3\sqrt{x+2}\)

giải phương trình:

\(\left(x+1\right)\sqrt{6x^2+6x+25}=23x-13\)

Cho 2 phương trình: x²-2x-a²+1=0 (1) và x²-2(a+1)x+a(a-1)=0 (2)

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1) và x₃, x₄ là hai nghiệm của phương trình (2) với x₃<x₄. Tìm tất cả các giá trị của a để x₁, x₂ ∈ (x₃;x₄).

Tìm m khác 0 để phương trình: x²-x+3m=0 (1) có một nghiệm gấp hai lần một nghiệm của phương trình x²-x+m=0 (2).

Cho các số thực x,y thỏa mãn: 2(x²+y²)=1+xy. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7(x⁴+y⁴)+4x²y². Tính M+m.

Cho x,y>0 thỏa mãn: x+y=2010. Hãy tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\frac{x}{\sqrt{2010-x}}+\frac{y}{\sqrt{2010-y}}\)