Bài 1:

a/ \(\sqrt{\dfrac{2x^2-4x+2}{6}}=1\) .

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^2-2x+1\right)}{6}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{3}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=3\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=\sqrt{3}\\x-1=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}+1\\x=-\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)

vậy tập nghiệm của phương trình S=\(\left\{1-\sqrt{3};\sqrt{3}+1\right\}\)

b/ ta có: \(\dfrac{6}{x-4}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(x-4\right)=6\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2}-4\sqrt{2}=6\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2}=6+4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{6+4\sqrt{2}}{2}=4+3\sqrt{2}\)

vậy \(x=4+3\sqrt{2}\) là nghiệm của phương trình

c/ \(\sqrt{\dfrac{20}{2x^2-8x+8}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{20}{2x^2-8x+8}}\right)^2=\left(\sqrt{5}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{20}{2\left(x^2-4x+4\right)}=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{10}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=\sqrt{2}\\x-2=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{2}\\x=2-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right\}\)

a/ \(\dfrac{1}{2}.\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{9x-9}+24.\sqrt{\dfrac{x-1}{64}}=-17\) ( đkxđ : \(x\ge1\) )

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{3^2\left(x-1\right)}+24.\sqrt{\dfrac{x-1}{8^2}}=-17\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.\sqrt{x-1}-\dfrac{3.3}{2}.\sqrt{x-1}+\dfrac{24}{8}\sqrt{x-1}=-17\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{9}{2}\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=-17\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}\right)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{2}+3\right)=-17\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)}.\left(-1\right)=-17\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\dfrac{-17}{-1}=17\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}\right)^2=17^2\)

\(\Leftrightarrow x-1=289\)

\(\Leftrightarrow x=289+1=290\)

vậy x= 290 là nghiệm của phương trình a

b/ \(3x-7\sqrt{x}+4=0\) ( đkxđ : \(x\ge0\) )

\(\Leftrightarrow3x-3\sqrt{x}-4\sqrt{x}+4=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-4\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-4=0\\\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\\\sqrt{x}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{16}{9}\\x=1\end{matrix}\right.\)

vậy phương trình có tập nghiệm S=\(\left\{1;\dfrac{16}{9}\right\}\)

c/ \(-5x+7\sqrt{x}+12=0\) ( đkxđ: \(x\ge0\) )

\(\Leftrightarrow-\left(5x+5\sqrt{x}-12\sqrt{x}-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-\left[5\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-12\left(\sqrt{x}+1\right)\right]\)= 0

\(\Leftrightarrow-\left(5\sqrt{x}-12\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0\)

vì \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+1>0\)
\(\Rightarrow5\sqrt{x}-12=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{12}{5}\Rightarrow x=\dfrac{144}{25}\)

vậy \(x=\dfrac{144}{25}\) là nghiệm của phương trình c

ta có: \(\sqrt{2000}< 2001\Rightarrow\sqrt{1999.\sqrt{2000}}< \sqrt{1999.2001}< \dfrac{1999+2001}{2}=2000\)

(áp dụng BĐT AM-GM)

lấy tương tự như trên ta có:

\(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...........\sqrt{1999\sqrt{2000}}}}}\)< \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4.............\sqrt{1999.2001}}}}\)

< \(\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4....\sqrt{1998.2000}}}}........< \sqrt{2.4}< 3\)(ĐPCM)

Do x² + y² = 1 nên tồn tại ß € [0;2π] sao cho: x = sinß và y = cosß
Khi đó: S = 4 + xy - 2(x+y) = 4 + sinßcosß - 2(sinß+cosß)
Đặt sinß + cosß = t => \(-\sqrt{2}\) ≤ t ≤ \(\sqrt{2}\) (vì sinß + cosß = \(\sqrt{2}\).sin(ß+\(\dfrac{\pi}{4}\)))
và sinßcosß =\(\dfrac{t^2-1}{2}\)
S = 4 + \(\dfrac{t^2-1}{2}\) - 2t =\(\dfrac{t^2-4t+7}{2}\)
Hàm ƒ(t) = t² - 4t + 7 nghịch biến trên [\(-\sqrt{2}\);\(\sqrt{2}\)] nên:
ƒ(\(\sqrt{2}\)) ≤ ƒ(t) ≤ ƒ(\(-\sqrt{2}\)) <=> \(9-4\sqrt{2}\) ≤ ƒ(t) ≤ \(9+4\sqrt{2}\)
=> min S =\(\dfrac{9-4\sqrt{2}}{2}\) xảy ra khi t = \(\sqrt{2}\) <=> sin(ß + \(\dfrac{\pi}{4}\)) = 1 => ß = \(\dfrac{\pi}{4}\)(vì ß € [0;2π] )
hay (x,y) là (\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\);\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\))
max S = 9 + 4√2 xảy ra <=> t = \(-\sqrt{2}\) <=> sin(ß+\(\dfrac{\pi}{4}\)) = -1 => ß = \(\dfrac{5\pi}{4}\)(ß € [0;2π] )
hay (x;y) là: \(\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}};\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)\)

Gọi E là giao điểm của BH và AC

AH là đường cao của \(\Delta ABE\)

AH là tia phân giác của góc BAE

\(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A

\(\Rightarrow AB=AE\)

mà ta có : AB = 12cm \(\Rightarrow AE=12\) cm

\(EC=AC-AE=18-12=6cm\)

AH là đường cao của \(\Delta ABE\) cân tại A.

\(\Rightarrow\) AH là trung tuyến của \(\Delta ABE\)

\(\Rightarrow H\) là trung điểm của BE

mà M là trung điểm của BC

\(\Rightarrow HM\) là đường trung bình của \(\Delta BEC\)

\(\Rightarrow HM=\dfrac{EC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)(cm)

vậy độ dài của HM= 3cm

tam giác vuông ABC có AD là phân giác nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)

BC = BD + CD = 15+20=35

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{\left(AC^2+AB^2\right)}=\dfrac{9}{25}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{9}{25}\Rightarrow AB^2=\dfrac{BC^2.9}{25}=\dfrac{35^2.9}{25}=441\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{441}=21\)

tam giác vuông ABC có AH là đường cao. áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{21^2}{35}=12,6\) \(\Rightarrow HC=BC-BH=35-12,6=22,4\)

A = \(\dfrac{1}{7+4\sqrt{3}}+\dfrac{1}{7-4\sqrt{3}}=\dfrac{7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}}{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}\)

= \(\dfrac{\left(7+7\right)+\left(4\sqrt{3}-4\sqrt{3}\right)}{7^2-\left(4\sqrt{3}\right)^2}=\dfrac{14}{49-48}=\dfrac{14}{1}=14\)

vậy biểu thức A có kết quả = 14

b/ Min A= 0 \(\Leftrightarrow\sqrt{a}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=1\)

\(\Leftrightarrow a=1\)

a/ A = \(\dfrac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\) ( ĐKXĐ : a >0 )

= \(\dfrac{\sqrt{a}\left(a\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}+1\)

= \(\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}+1\)

= \(\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)

= \(a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}-1+1\)

= \(a-\sqrt{a}\) = \(\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\)

vậy biểu thức sau khi đã được rút gọn có kết quả là \(\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\)

A= \(\left(\sqrt{48}-2\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right).\sqrt{5}-2\sqrt{45}:\sqrt{3}\)

A= \(\left(4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right).\sqrt{5}-2\sqrt{45}:\sqrt{3}\)

A= \(\left(2\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right).\sqrt{5}-2\sqrt{45:3}\)

A= \(2\sqrt{3}.\sqrt{5}+2\sqrt{5}.\sqrt{5}-2\sqrt{15}\)

A= \(2\sqrt{15}+2.5-2\sqrt{15}\)

A= \(\left(2\sqrt{15}-2\sqrt{15}\right)+10\)

A=10