Do x² + y² = 1 nên tồn tại ß € [0;2π] sao cho: x = sinß và y = cosß
Khi đó: S = 4 + xy - 2(x+y) = 4 + sinßcosß - 2(sinß+cosß)
Đặt sinß + cosß = t => \(-\sqrt{2}\) ≤ t ≤ \(\sqrt{2}\) (vì sinß + cosß = \(\sqrt{2}\).sin(ß+\(\dfrac{\pi}{4}\)))
và sinßcosß =\(\dfrac{t^2-1}{2}\)
S = 4 + \(\dfrac{t^2-1}{2}\) - 2t =\(\dfrac{t^2-4t+7}{2}\)
Hàm ƒ(t) = t² - 4t + 7 nghịch biến trên [\(-\sqrt{2}\);\(\sqrt{2}\)] nên:
ƒ(\(\sqrt{2}\)) ≤ ƒ(t) ≤ ƒ(\(-\sqrt{2}\)) <=> \(9-4\sqrt{2}\) ≤ ƒ(t) ≤ \(9+4\sqrt{2}\)
=> min S =\(\dfrac{9-4\sqrt{2}}{2}\) xảy ra khi t = \(\sqrt{2}\) <=> sin(ß + \(\dfrac{\pi}{4}\)) = 1 => ß = \(\dfrac{\pi}{4}\)(vì ß € [0;2π] )
hay (x,y) là (\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\);\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\))
max S = 9 + 4√2 xảy ra <=> t = \(-\sqrt{2}\) <=> sin(ß+\(\dfrac{\pi}{4}\)) = -1 => ß = \(\dfrac{5\pi}{4}\)(ß € [0;2π] )
hay (x;y) là: \(\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}};\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\right)\)
