Giải:
a)
- Tam giác MNP có góc \( M = 90^\circ \) và góc \( N = 60^\circ \).
- Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \), nên góc \( P = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn. Vì vậy, ta có:
- \( MN \) đối diện góc \( P = 30^\circ \) nên là cạnh nhỏ nhất.
- \( NP \) đối diện góc \( M = 90^\circ \) nên là cạnh lớn nhất (đây là cạnh huyền).
- \( MP \) đối diện góc \( N = 60^\circ \) nên lớn hơn \( MN \) nhưng nhỏ hơn \( NP \).
Vậy thứ tự các cạnh là: \( MN < MP < NP \).
b)
- Vì \( NQ = NM \) (giả thiết).
- \( NI \) là tia phân giác của góc \( MNP \), nên \( \angle MNI = \angle QNI \).
- \( NI \) là cạnh chung.
Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
\[ \triangle MNI = \triangle QNI \] (c.g.c)
c)
- Vì \( NQ = NM \) và \( \triangle MNI = \triangle QNI \), nên:
- \( MI = QI \).
- \( \angle MNI = \angle QNI \).
- Trong \( \triangle MNI \) và \( \triangle QNI \), góc \( \angle MNI \) và \( \angle QNI \) là các góc đối diện với cạnh \( MI \) và \( QI \). Do đó, \( MI = QI \).
- Vì \( MI = QI \), và \( MI \) là đoạn thẳng nối từ \( M \) đến điểm \( I \) thuộc \( MP \), còn \( MQ \) là đoạn thẳng nối từ \( M \) đến điểm \( Q \) thuộc \( NP \), nên \( NI \) là đường phân giác và dài hơn \( MQ \).
Vậy \( NI > MQ \).
d)
- \( H \) là giao điểm của \( NI \) và \( MQ \).
- Xét tam giác \( MIQ \) có \( NI \) là đường phân giác của góc \( \angle MIQ \).
- Theo định lý đường phân giác, đường phân giác chia đoạn thẳng đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với các cạnh kề của góc phân giác.
Do đó:
\[ \frac{MH}{HQ} = \frac{MN}{NQ} = 1 \]
(suy ra từ giả thiết \( MN = NQ \))
Vậy \( MH = HQ \), do đó \( H \) là trung điểm của \( MQ \).
