Bài 1: Tính nhanh

Giải:

  \[
  A = \left[(-1)^2 + (-1)^3\right] + \left[(-1)^4 + (-1)^5\right] + \dots + \left[(-1)^{98} + (-1)^{99}\right] + (-1)^{100}
  \]
Mỗi cặp số hạng này đều cho kết quả:
  \[
  1 + (-1) = 0
  \]
   \( (-1)^{100} = 1 \).

\[
A = 0 + 1 = 1
\]

Vậy \( A = 1 \).

a) 

543,799,111 + 58 = 543 799 169

`=>`  543 799 169 /⋮ 7

Vì 543 799 169 chia hết cho 7 và có ít nhất một ước số khác ngoài 1 và chính nó, nên 543 799 169 là một hợp số.

Số hạng đầu: 100

Số hạng cuối: 990 

Khoảng cách giữa các số hạng: 10

Số lượng các số trong dãy là:

`990 - 110/ 10 ` + 1 = 90 ( số)

Tổng tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho cả 2 và 5 là:

\(\dfrac{90 . ( 100 + 990}{2} = 49 050\)

8 dm = 80 cm ; 10 dm = 100 cm

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

15 . 80 . 100 = = 120 000 000 ( \(m^{2}\))

Trung bình cộng của ba kích thước trên hình hộp chữ nhật:

\(\dfrac{15 + 80 + 100}{3} = 65 (cm)\)

Thể tích của hình lập phương là:

\(65^{3} = 274,625 (cm^{2})\)

a)

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = CM\).
- Xét hai tam giác \(BDM\) và \(CME\):

  \[
  \text{Xét} \ \triangle BDM \ \text{và} \ \triangle CME:
  \]

  - \( \angle DME = \angle B \) (Giả thiết).
  - \(BM = CM\) (Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).
  - \(AB = AC\) (Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).

  Vậy hai tam giác \(BDM\) và \(CME\) có:
  
  - \( \angle DME = \angle B \) (Giả thiết).
  - \( \angle BDM = \angle CME \) (Hai góc đối đỉnh).

  Theo trường hợp đồng dạng góc-góc (G-G), ta có:

  \[
  \triangle BDM \sim \triangle CME
  \]

b) 

- Vì \( \triangle BDM \sim \triangle CME \) (đã chứng minh ở phần a),
- Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

  \[
  \frac{BD}{CE} = \frac{BM}{CM} = 1
  \]

  Do đó:

  \[
  BD \cdot CE = k^2
  \]

  Với \( k \) là hằng số (không đổi).

Kết luận: \(BD \cdot CE\) không đổi.

c) 

- Xét tam giác \(BDE\), với \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\):

  \[
  \frac{BD}{DE} = \frac{BM}{CM} = 1
  \]

  Từ đó suy ra \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\).

Bài 64: 
   \[
   BC^2 = AB^2 + AC^2
   \]
   \[
   BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
   \]
   \[
   BC = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
   \]
   \[
   \tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \implies B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
   \]
   \[
   C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53.13^\circ \approx 36.87^\circ
   \]

 Bài 65: 
   \[
   BC^2 = AB^2 + AC^2
   \]
   \[
   10^2 = 6^2 + AC^2
   \]
   \[
   100 = 36 + AC^2
   \]
   \[
   AC^2 = 100 - 36 = 64 \implies AC = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
   \]
   \[
   \tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \implies B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
   \]
   \[
   C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53.13^\circ \approx 36.87^\circ
   \]

Bài 62:
   \[
   \sin(C) = \frac{AB}{BC} \implies AB = BC \cdot \sin(30^\circ)
   \]
   \[
   AB = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \, \text{cm}
   \]
   \[
   \cos(C) = \frac{AC}{BC} \implies AC = BC \cdot \cos(30^\circ)
   \]
   \[
   AC = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5 \cdot 0.866 = 4.33 \, \text{cm}
   \]

 Bài 63:
   \[
   \sin(F) = \frac{DF}{DE} \implies DF = DE \cdot \sin(47^\circ)
   \]
   \[
   DF = 9 \cdot \sin(47^\circ) \approx 9 \cdot 0.731 = 6.58 \, \text{cm}
   \]
   \[
   \cos(F) = \frac{DF}{DE} \implies EF = DE \cdot \cos(47^\circ)
   \]
   \[
   EF = 9 \cdot \cos(47^\circ) \approx 9 \cdot 0.681 = 6.13 \, \text{cm}
   \]

6 =2.3, 18 = 2. \(3^{2}\)

suy ra số 517ab chia hết cho 6,7,18 phải chia hết cho 2, 9, 7

do đó, b là các chữ số chẵn và  tổng 5+ 1+ 7 + a+b = 13 + a+ b chia hết cho 9

nếu b = 0 thì a = 5 suy ra số đó là: 51750, không chia hết cho 7 (loại)

nếu b = 2 thì a = 3 suy ra số đó là: 51732, không chia hết cho 7 (loại)

nếu b = 4 thì a = 1 suy ra số đó là : 51714, không chia hết cho 7 (loại)

nếu b = 6 thì a = 8 suy ra số đó là: 51786, chia hết cho 7 (thoả mãn)

nếu b = 8 thì a = 6 suy ra số đó là: 51768, không chia hết cho 7(loại)

Giả sử x + y = z là một số hữu tỉ.

Suy ra y = z –x ta có z hữu tỉ, x hữu tỉ thì z – x là một số hữu tỉ

Hay y  ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy x + y là số vô tỉ

Giả sử z = x.y là một số hữu tỉ

Suy ra y = z : x mà x ∈ Q, z ∈ Q

Suy ra y ∈ Q trái giả thiết y là số vô tỉ

Vậy xy là số vô tỉ

Tổng số kg đường bán được trong cả hai ngày là:

10 + 6 = 16 ( kg)

Số kg đường trong mỗi bao là:

800 : 16 = 50 ( kg)

Ngày thứ hai, cửa hàng bán được 6 bao đường, nên số kg đường bán được trong ngày thứ hai là:

6 x 50 = 300 ( kg)

Đáp số: 300 kg đường