a)
- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = CM\).
- Xét hai tam giác \(BDM\) và \(CME\):
\[
\text{Xét} \ \triangle BDM \ \text{và} \ \triangle CME:
\]
- \( \angle DME = \angle B \) (Giả thiết).
- \(BM = CM\) (Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).
- \(AB = AC\) (Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
Vậy hai tam giác \(BDM\) và \(CME\) có:
- \( \angle DME = \angle B \) (Giả thiết).
- \( \angle BDM = \angle CME \) (Hai góc đối đỉnh).
Theo trường hợp đồng dạng góc-góc (G-G), ta có:
\[
\triangle BDM \sim \triangle CME
\]
b)
- Vì \( \triangle BDM \sim \triangle CME \) (đã chứng minh ở phần a),
- Suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:
\[
\frac{BD}{CE} = \frac{BM}{CM} = 1
\]
Do đó:
\[
BD \cdot CE = k^2
\]
Với \( k \) là hằng số (không đổi).
Kết luận: \(BD \cdot CE\) không đổi.
c)
- Xét tam giác \(BDE\), với \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\):
\[
\frac{BD}{DE} = \frac{BM}{CM} = 1
\]
Từ đó suy ra \(DM\) là phân giác của góc \(BDE\).