Tìm bán kính của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(4;3); B(-2;1) và có tâm thuộc đường thẳng (d) : \(x+2y+5=0\) .
\(2\sqrt{2}\) \(3\sqrt{2}\) \(4\sqrt{2}\) \(5\sqrt{2}\)Hướng dẫn giải:
Cách 1: Gọi I là tâm của đường tròn (C) đã cho. Vì I thuộc (d): \(x+2y+5=0\) nên I có tọa độ dạng I(-2t-5;t).
Vì (C) qua A và B nên IA = IB do đó \(\left(-2t-5-4\right)^2+\left(t-3\right)^2=\left(-2t-5+2\right)^2+\left(t-1\right)^2\)
hay \(36t+81-6t+9=12t+9-2t+1\Leftrightarrow20t=-80\Leftrightarrow t=-4\).
Bán kính của (C) là \(IA=\sqrt{\left(8-9\right)^2+\left(-4-3\right)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
Cách 2: Tâm I của (C) là giao điểm của đường trung trực (d') của đoạn AB với đường thẳng (d) đã cho. Theo giả thiết A(4;3); B(-2;1) suy ra trung điểm AB là M(1;2) và \(\overrightarrow{AB}\left(-6;-2\right)=-2.\left(3;1\right)\), đường trung trực (d') của AB qua M(1;2) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-1;3\right)\) nên (d') có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=2+3t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình của (d) ta được:
\(\left(1-t\right)+2\left(2+3t\right)+5=0\) \(\Leftrightarrow5t+10=0\Leftrightarrow t=-2\).
Thế trở lại phương trình của (d') ta được \(I\left(3;-4\right)\) là tâm của (C); bán kính của (C) là \(IA=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}\)
Đáp số: \(5\sqrt{2}\).
