Cho tam giác ABC có đỉnh A(3;2); đường cao BB' có phương trình \(x-y+2=0\); đường trung tuyến xuất phát từ B có phương trình \(2x-y+8=0\). Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.
\(C\left(10;5\right)\) \(C\left(-10;5\right)\) \(C\left(-5;10\right)\) \(C\left(10;-5\right)\) Hướng dẫn giải:Đường thẳng AC qua \(A\left(3;2\right)\) và vuông góc với đường cao BB': \(x-y+2=0\) nên AC có phương trình \(1.\left(x-3\right)+1.\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+y-5=0\). Gọi M là giao điểm của đường thẳng
chứa cạnh AC và đường trung tuyến kẻ qua đỉnh B: \(2x-y+8=0\) thì M là trung điểm của cạnh AC và tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình sau
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-5=0\\2x-y+8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=6\end{matrix}\right.\) . Vậy \(M\left(-1;6\right)\).
Vì \(M\left(-1;6\right)\) là trung điểm của cạnh AC với đỉnh \(A\left(3;2\right)\) nên đỉnh C có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+3}{2}=-1\\\dfrac{y+2}{2}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=10\end{matrix}\right.\) . Vậy \(C\left(-5;10\right)\).
Đáp số: \(C\left(-5;10\right)\).
