Cho tam giác ABC có các \(A\left(-6;-3\right);B\left(-4;3\right);C\left(9;2\right)\). Viết phương trình đường phân giác của góc ngoài của góc A.
\(x+y-9=0\) \(x+y+9=0\) \(x+y-5=0\) \(x+y+5=0\) Hướng dẫn giải:Goi E là chân đường phân giác ngoài của góc A thì E chia (ngoài ) đoạn BC theo tỷ số \(\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{\left(-2\right)^2+6^2}}{\sqrt{15^2+5^2}}=\dfrac{2}{5}\). Do đó \(\overrightarrow{EB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{EC}\) và tọa độ điểm E thỏa mãn phương trình sau
\(\left(-4-x;3-y\right)=\dfrac{2}{5}.\left(9-x;2-y\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-20-5x=18-2x\\15-5y=4-2y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{38}{3}\\y=\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\) .Vậy chân đường phân giác ngoài của góc A là điểm \(E\left(-\dfrac{38}{3};\dfrac{11}{3}\right)\) .
Đường phân giác ngoài của góc A cũng là đường thẳng qua \(A\left(-6;-3\right)\) và điểm \(E\left(-\dfrac{38}{3};\dfrac{11}{3}\right)\) nên có phương trình \(\dfrac{x+6}{-\dfrac{38}{3}+6}=\dfrac{y+3}{\dfrac{11}{3}+3}\) hay \(x+y+9=0\)
Đáp số: \(x+y+9=0\)
