Cho hai diểm A(-1;2), B(3;0) và đường thẳng d: \(7x+y-6=0\). Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d đã cho.
\(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\). \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\). \(\left(x+9\right)^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{425}{9}\). \(\left(x+\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\). Hướng dẫn giải:\(I\in d\Leftrightarrow I\left(t;-7t+6\right)\).
I là tâm đường tròn qua A, B nên
\(IA=IB\Rightarrow\left(t+1\right)^2+\left(-7t+6-2\right)^2=\left(t-3\right)^2+\left(-7t+6\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2t-56t+1+16=-6t-84t+9+36\Leftrightarrow36t=28\Leftrightarrow t=\dfrac{7}{9}\).
Vậy \(I\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9}\right)\). Bán kính \(R=IB=\sqrt{\left(\dfrac{7}{9}-3\right)^2+\left(-\dfrac{49}{9}+6\right)^2}=\sqrt{\dfrac{425}{81}}\) .
Đáp số: \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\).
Cách khác (trắc nghiệm):
- Dùng máy tính CASIO (MODE 1, lệnh CALC) tính giá trị biểu thức \(7x+y-6\) lần lượt tại \(\left(x=\dfrac{7}{9};y=\dfrac{5}{9}\right)\) , \(\left(x=-9;y=2\right)\), \(\left(x=-\dfrac{7}{9};y=-\dfrac{5}{9}\right)\) ta thấy biểu thức có giá trị 0 chỉ tại \(\left(x=\dfrac{7}{9};y=\dfrac{5}{9}\right)\), do đó hai đường tròn
\(\left(x+9\right)^2+\left(y-2\right)^2=\dfrac{425}{9}\) và \(\left(x+\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{81}{425}\)
có tâm không nằm trên (d).
- Tính giá trị biểu thức \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2\) tại \(\left(x=3;y=0\right)\) ta được giá trị \(\dfrac{425}{9}\) nên chỉ có đường tròn \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\) đi qua B.
Đáp số: \(\left(x-\dfrac{7}{9}\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{9}\right)^2=\dfrac{425}{81}\)
