Cho elip (E) : \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) và điểm \(M\left(1;1\right)\). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
\(9x+4y+13=0\) \(9x-4y+13=0\) \(4x+9y-13=0\) \(4x-9y+13=0\) Hướng dẫn giải:- Nếu (d) không song song với Oy thì (d) có hệ số góc. Gọi k là hệ số góc của (d) thì nó có phương trình \(y=k\left(x-1\right)+1\). Thé vào phương trình của (E) ta được phương trình xác định hoành độ các giao điểm A, B của (d) với (E) là:
\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{\left(k\left(x-1\right)+1\right)^2}{4}=1\)\(\Leftrightarrow4x^2+9\left(kx+1-k\right)^2-36=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4+9k^2\right)x^2+18k\left(1-k\right)x+9\left(1-k\right)^2-36=0\)(1)
(d) sẽ cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho M(1;1) là trung điểm AB khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) sao cho \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(-\dfrac{9k\left(1-k\right)}{4+9k^2}=1\)\(\Leftrightarrow-9k=4\Leftrightarrow k=-\dfrac{4}{9}\).
Đáp số: \(y=-\dfrac{4}{9}\left(x-1\right)+1\)\(\Leftrightarrow4x+9y-13=0\).
