Cho elip (E) : \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) và điểm \(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\). Biểu thức \(F_1M.F_2M+OM^2\) (với \(F_1,F_2\) là hai tiêu điểm của (E)) có giá trị không đổi,hãy tính giá trị này.
7 25 9 16 Hướng dẫn giải:Từ giả thiết suy ra \(a^2=16,b^2=9\Rightarrow c^2=7\).
Nếu \(M\left(x;y\right)\in\left(E\right)\) thì \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\)
Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có: \(F_1M=4+\dfrac{\sqrt{7}}{4}x,F_2M=4-\dfrac{\sqrt{7}}{4}x\), \(OM^2=x^2+y^2\)\(=x^2+9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\), do đó
\(F_1M.F_2M+OM^2=\left(16-\dfrac{7}{16}x^2\right)+x^2+9\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)=25\).
Đáp số: 25.
