Biết rằng \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=a^2+b^2+c^2\).\(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=\left(ab+bc\right)^2\).\(\left(bc+ca+ab\right)^3=abc\left(a+b+c\right)^3\).\(\dfrac{2}{b-a};\dfrac{1}{b};\dfrac{2}{b-c}\) là cấp số nhân.Hướng dẫn giải:Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên \(b^2=ac\) .
Ta kiểm tra:
*) \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\)
\(=a^2+2ac+c^2-b^2\)
\(=a^2+2b^2+c^2-b^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
*) \(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2b^2+b^2c^2+b^4+a^2c^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2c^2\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.ac\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.b^2=\left(ab+bc\right)^2\)
*) \(\left(bc+ca+ab\right)^3=\left(bc+b^2+ab\right)^3\)
\(=\left[b\left(c+b+a\right)\right]^3=b^2.b\left(a+b+c\right)^3=abc\left(a+b+c\right)^3\)
Vì vậy khẳng định sai chỉ có thể là khẳng định " \(\frac{2}{b-a};\frac{1}{b};\frac{2}{b-c}\) là một cấp số nhân". Thật vậy: Xét cấp số nhân \(a=1,b=2,c=4\) ta có
\(\dfrac{2}{b-a}=\dfrac{2}{2-1}=2;\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{b-c}=\dfrac{2}{2-4}=-1\), ba số \(2;\dfrac{1}{2};-1\) không lập thành cấp số nhân (nếu ngược lại thì \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2.\left(-1\right)\) vô lý.
