Ba số \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân có \(a+b+c=21\) và \(a^2+b^2+c^2=189\).
Tìm ba số đó.
\(1,4,16\) hoặc \(16,4,1\).\(7,7,7\) hoặc \(7,7,7\).\(3,6,12\) hoặc \(12,6,3\).\(1,8,12\) hoặc \(12,8,1\).Hướng dẫn giải:Vì a, b, c là cấp số nhân nên \(ac=b^2\).
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\)
\(=a^2+2ac+c^2-b^2\)
\(=a^2+2b^2+c^2-b^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
Theo giả thiết suy ra
\(21\left(a-b+c\right)=189\)
\(\Leftrightarrow a-b+c=9\)
Từ \(\begin{cases}a+b+c=21\\a-b+c=9\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow2b=12\Leftrightarrow b=6\)
\(\Rightarrow a+c=21-b=21-6=15\)
\(\Rightarrow a,c\) là nghiệm của hệ : \(\begin{cases}a+c=15\\a.c=b^2=36\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=3\\c=12\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=12\\c=3\end{cases}\)
Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(3;6;12\right)\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(12;6;3\right)\)
