Bài 8. Quan hệ chia hết và tính chất

1. QUAN HỆ CHIA HẾT

✽ Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0).

Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là a ⋮ b.

Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là \(a⋮̸b\).

Ví dụ:

• 20 ⋮ 4 vì 20 = 5.4.
• 25 \(⋮̸\)6.​

Chú ý: Trong một tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Chẳng hạn: Vì 16⋮8 nên 245.16⋮8.

✽ Ước và bội

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

Chẳng hạn: 100 chia hết cho 20. 

Khi đó, ta nói 20 là ước của 100, 100 là bội của 20.

✽ Cách tìm ước và bội

• Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.
• Ta có thể tìm bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; ...

Ví dụ.

a) Tìm các ước của 12.

b) Tìm các bội của 7.

Giải:

a) Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12 nên Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6;12}.

b) Lần lượt nhân 7 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... ta được các bội của 7 là 0; 7; 14; 21; 28; 35; ...

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

✽ Trường hợp chia hết

Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

• Nếu \(a⋮m\) và \(b⋮m\) thì \(\left(a+b\right)⋮m\).
• Nếu \(a⋮m,b⋮m\) và \(c⋮m\) thì \(\left(a+b+c\right)⋮m\).

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu.

Chẳng hạn: 45⋮9 và 18⋮9 suy ra (45 - 18) ⋮ 9.

✽ Trường hợp không chia hết

Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

• Nếu \(a⋮m\) và \(b⋮̸m\) thì \(\left(a+b\right)⋮̸m\).
• Nếu \(a⋮m,b⋮m\) và \(c⋮̸m\) thì \(\left(a+b+c\right)⋮̸m\).

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu.

Chẳng hạn: 60⋮4, 12⋮4, 30\(⋮̸\)4 suy ra (60 - 12 - 30)\(⋮̸\)4.

Ví dụ 1. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết 216 + 69 + 25 có chia hết cho 3 hay không?

Giải:

Vì 216 ⋮ 3 và 69 ⋮3 nhưng 25\(⋮̸\)3 nên (216 + 69 + 25)\(⋮̸\)3.

Ví dụ 2. Tìm x thuộc tập {42; 51; 68; 90} sao cho M = 125 - x + 80 chia hết cho 5.

Giải:

Vì 125 ⋮ 5, 80 ⋮ 5 nên để M ⋮ 5 thì x ⋮ 5.

Trong tập hợp {42; 51; 68; 90} chỉ có 90 chia hết cho 5, suy ra x = 90.