Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

1. Căn bậc hai của số thực âm

Từ đẳng thức \(i^2=-1\), ta nói \(i\) là một căn bậc hai của \(-1\), \(-i\) cũng là một căn bậc hai của \(-1\) (vì \(\left(-i\right)^2=-1\)).

Tổng quát: Căn bậc hai của số thực \(a\) âm là \(\pm i\sqrt{\left|a\right|}\).

Chẳng hạn: Căn bậc hai của \(-2\) là \(\pm i\sqrt{2}\) ;

                    Căn bậc hai của \(-5\) là \(\pm i\sqrt{5}\) ; ...

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với \(a,b,c\in R;a\ne0\). Xét biệt số \(\Delta=b^2-4ac\) của phương trình, ta thấy:

Khi \(\Delta=0\), phương trình có một nghiệm thực \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Khi \(\Delta>0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là 

                                              \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Khi \(\Delta< 0\), phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của \(\Delta\). Tuy nhiên xét trong tập số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của \(\Delta\) là \(\pm i\sqrt{\Delta}\). Khi đó phương trình có hai nghiệm phức là 

                                              \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}\).

Nhận xét: 

    Trên tập số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

    Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc \(n\) \(\left(n\ge1\right)\)

               \(a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=0\),

trong đó \(a_0,a_1,...,a_n\in C,a_0\ne0\) đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

Ví dụ 1: Giải phương trình \(x^2+x+1=0\) trên tập số phức.

Giải:

Xét phương trình \(x^2+x+1=0\) ta có \(\Delta=1^2-4.1.1=1-4=-3< 0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là \(x_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(5z^2-7z+11=0\) trên tập số phức.

Giải:

Xét phương trình \(5z^2-7z+11=0\) có \(\Delta=49-220=-171< 0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là \(x_{1,2}=\dfrac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\).

Ví dụ 3: Giải phương trình \(z^4+z^2-6=0\) trên tập số phức.

Giải:

Ta có: \(z^4+z^2-6=0\) 

     \(\Leftrightarrow z^4-2z^2+3z^2-6=0\)

     \(\Leftrightarrow\left(z^2-2\right)\left(z^2+3\right)=0\)

     \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z^2=2\\z^2=-3\end{matrix}\right.\)

Với \(z^2=2\) ta có \(z_{1,2}=\pm\sqrt{2}\)

Với \(z^2=-3\) ta có \(z_{3,4}=\pm i\sqrt{3}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{\pm\sqrt{2};\pm i\sqrt{3}\right\}\).