Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

a) ta có : \(\left(1+i\sqrt{2}\right).\left(1-i\sqrt{2}\right)=1-\left(i\sqrt{2}\right)^2=1+2=3\)

và \(\left(1+i\sqrt{2}\right)+\left(1-i\sqrt{2}\right)=2\)

\(\Rightarrow1+i\sqrt{2}\) và \(1-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2-2x+3=0\)

b) ta có : \(\left(\sqrt{3}+2i\right).\left(\sqrt{3}-2i\right)=3-\left(2i\right)^2=3+4=7\)

và \(\left(\sqrt{3}+2i\right)+\left(\sqrt{3}-2i\right)=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}+2i\) và \(\sqrt{3}-2i\) là nghiệm của hệ \(x^2-2\sqrt{3}x+7=0\)

c) ta có : \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right).\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=3-\left(i\sqrt{2}\right)^2=3+2=5\)

và \(\left(-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\right)+\left(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{3}+i\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{3}-i\sqrt{2}\) là nghiệm của hệ \(x^2+2\sqrt{3}x+5=0\)

Một phương trình bậc hai nhận z và làm nghiệm là

(x - z)(x - ) = 0 hay x² – (z + )x + z = 0.

Nếu z = a + bi thì z + = 2a, z = a² + b²

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là x² – 2ax + a² + b² = 0

Trường hợp ∆ ≥ 0 ta đã biết kết quả.

Xét trường hợp ∆ < 0, từ công thức nghiệm

z₁ = , z₂ = với |∆| = 4ac - b²

z₁ + z₂ =

z₁ z₂ =

a) Ta có ∆' = 1 - 3 = -2.

Vậy nghiệm của phương trình là z_1,2 =

b) Ta có ∆ = 9 - 56 = -47.

Vậy nghiệm của phương trình là z_1,2 = ;

c) Ta có ∆ = 49 - 4.5.11 = -171.

Vậy nghiệm của phương trình là z_1,2 =

± i√7 ; ± i2√2 ; ± i2√3; ± i2√5 ; ± 11i

a) Đặt Z = z² , ta được phương trình Z² + Z – 6 = 0

Phương trình này có hai nghiệm là Z₁ = 2, Z₂ = -3

Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± √2 và ± i√3.

b) Đặt Z = z² , ta được phương trình Z² + 7Z + 10 = 0

Phương trình này có hai nghiệm là Z₁ = -5, Z₂ = -2

Vậy phương trình có bốn nghiệm là ± i√2 và ± i√5.