Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

1. Phép cộng hai số phức

Phép cộng hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng đa thức.

           \(\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\)

Phép cộng số thức có các tính chất tương tự như phép cộng đa thức

Với các số phức \(z,z',z''\) ta có:

   +) Tính chất kết hợp: \(\left(z+z'\right)+z''=z+\left(z'+z''\right)\)

   +) Tính chất giao hoán: \(z+z'=z'+z\)

Ví dụ:

   +) \(\left(5+2i\right)+\left(3+7i\right)=\left(5+3\right)+\left(2+7\right)i=8+9i\) ;

   +) \(\left(1+6i\right)+\left(4+3i\right)=\left(1+4\right)+\left(6+3\right)i=5+9i\) ;

   +) \(\left(1+2\sqrt{3}i\right)+3i=1+\left(2\sqrt{3}+3\right)i\).

2. Phép trừ hai số phức

Phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc trừ đa thức.

           \(\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i\)

Ví dụ:

   +) \(\left(3+\dfrac{1}{2}i\right)-\left(1-\dfrac{1}{3}i\right)=\left(3-1\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)\right)i=2+\dfrac{5}{6}i\) ;

   +) \(\left(1+\sqrt{3}i\right)-\left(3+2\sqrt{3}i\right)=\left(1-3\right)+\left(\sqrt{3}-2\sqrt{3}\right)i=-2-\sqrt{3}i\) ; ...

3. Phép nhân hai số phức

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \(i^2=-1\) trong kết quả nhận được.

Tổng quát: 

        \(\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\).

Tính chất:

   +) Với \(k\) là số thực thì \(kz=ka+kbi\) ;

   +) Tính chất giao hoán: Với hai số phức \(z,z'\) ta có: \(z.z'=z'.z\)

   +) Tính chất kết hợp: Với ba số phức \(z,z',z''\) ta có:  \(\left(z.z'\right).z''=z.\left(z'.z''\right)\)

   +) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Với ba số phức \(z,z',z''\) ta có: 

       \(zz'+z.z''=z.\left(z'+z''\right)\).

Ví dụ:

   +) \(\left(5+2i\right)\left(4+3i\right)=\left(5.4-2.3\right)+\left(5.3+2.4\right)i=14+23i\) ;

   +) \(\left(2-3i\right)\left(6+4i\right)=\left(2.6-\left(-3\right).4\right)+\left(2.4+\left(-3\right).6\right)i=24-10i\).