Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Với $a=1; b=5; c=4; d=3$ thì BĐT sai. Bạn xem lại đề.

Nếu \(c^2+d^2\ge1\left(bất.đẳng.thức.đúng\right)\)

Ta chứng minh c²+d²<1

+Đặt x=1-a²-b² và y =1-c² - d²

-0 \(\le x,y\le1\)

Bđt <=> (2 - 2ac - 2bd)²\(\ge\) 4xy <=> ((a-c)²+(b-d)²+x+y)²\(\ge4xy\)

=> ((a-c)²+(b-d)² + x + y)² \(\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

$f(x)=m^2(x^4-1)+m(x^2-1)-6(x-1)=(x-1)[m^2(x+1)(x^2+1)+m(x+1)-6]$

Để $f(x)\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì:
$m^2(x+1)(x^2+1)+m(x+1)-6=Q(x)(x-1)^k$ với $k$ là số lẻ

$\Rightarrow h(x)=m^2(x+1)(x^2+1)+m(x+1)-6\vdots x-1$

$\Rightarrow h(1)=0$

$\Leftrightarrow 4m^2+2m-6=0$

$\Leftrightarrow 2m^2+m-3=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(2m+3)=0\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{-3}{2}$

Thay các giá trị trên vào $f(x)$ ban đầu thì $m\in \left\{1; \frac{-3}{2}\right\}$

Tổng các giá trị của các phần tử thuộc $S$: $1+\frac{-3}{2}=\frac{-1}{2}$

Δ=6^2-4*3*m=36-12m

Để BPT luôn đúng khi x>=0 thì 36-12m<0

=>12m>36

=>m>3

Chọn D

\(\sqrt{x^2-4x}>x-3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-3< 0\\x^2-4x\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\x^2-4x>\left(x-3\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< 3\\\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x>\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x>\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

=>2x+2y+1>x-y+7 và 2x-y<4

=>x+3y>6 và 2x-y<4