Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

\(z'_x=x^2-3\)

\(z'_y=1\)

\(z''_{xx}=2x\) ; \(z''_{xy}=0\) ; \(z''_{yy}=0\)

\(\Rightarrow d^2z=z''_{xx}dx^2+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^2=2xdx^2\)

20.

\(-x^2+y=1\Rightarrow y=x^2+1\)

Thế vào hàm z ta được: \(z=\dfrac{x^3}{3}-3x+x^2+1\)

\(z'=x^2+2x-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=2\\x=-3\Rightarrow y=10\end{matrix}\right.\)

\(z''=2x+2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z''\left(1\right)=4>0\\z''\left(-3\right)=-4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\left(-3;10\right)\) là điểm cực đại và \(N\left(1;2\right)\) là điểm cực tiểu

Hàm số có tập xác định là \(ℝ\) \(\Leftrightarrow x^2-2x-m+1>0\forall x\inℝ\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-\left(-m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m< 0\)

\(m\in\left(-2021;2021\right)\), m nguyên nên có 2020 giá trị của m thỏa mãn.

Đặt \(3^x=t,\left(t>0\right)\)

Phương trình đã cho trở thành: \(t^2-2\left(m-1\right)t+2m+1=0\) (2)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m-1>0\\t_1+t_2=2\left(m-1\right)>0\\t_1\cdot t_2=2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\\m>1\\m< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>4\)

Chọn B

TCĐ: \(x=-1\Rightarrow b=-1\).

TCN: \(y=2\Rightarrow a=2\).

\(a+b=1\).

Chọn A.

\(g'\left(x\right)=f'\left(x\right)f\left(f\left(x\right)\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f\left(f\left(x\right)\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

\(f\left(f\left(x\right)\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x_1\left(x_1< -1\right)\\f\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)=x_1\left(x_1< -1\right):\) phương trình có 1 nghiệm.

\(f\left(x\right)=1:\) phương trình có 3 nghiệm.

Số nghiệm của phương trình \(g'\left(x\right)=0\) là 6.

Hàm \(f\left(\left|x\right|\right)\) có 5 điểm cực trị khi \(f\left(x\right)\) có 2 cực trị dương

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2-4x+2-m=0\) có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-3\left(2-m\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{4}{3}>0\\x_1x_2=\dfrac{2-m}{3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{2}{3}< m< 2\)

Em chú ý tại những điểm ĐTHS $y=f'(x)$ cắt trục $Oy$, chính là những điểm $f'(x) = 0$.

+ Tại $x=1$ đồ thị đi từ dưới lên tức là: $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, hàm số $y =f(x)$ sẽ đạt cực tiểu tại $x=1$;

+ Tương tự, $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=3$ và cực đại tại $x = 2$.

Giả sử (P) cắt đáy nón theo đoạn thẳng AB

Độ dài AB là: \(2\left(1+\sqrt{5}\right)a-2.a\sqrt{5}=2a\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow OH\perp AB\)

\(AH=\dfrac{1}{2}AB=a\); \(SO=\sqrt{\left(a\sqrt{5}\right)^2-\left(2a\right)^2}=a\)

\(OH=\sqrt{R^2-AH^2}=a\sqrt{3}\)

Từ O kẻ \(OK\perp SH\Rightarrow OK=d\left(O;\left(P\right)\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giac vuông SOH:

\(\dfrac{1}{OK^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do \(\sqrt{2}< \sqrt{3}\) mà \(a^{\sqrt{2}}>a^{\sqrt{3}}\Rightarrow0< a< 1\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+m+1=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow-x^3+3x^2-1=m\) có 3 nghiệm pb

Xét hàm \(f\left(x\right)=-x^3+3x^2-1=0\)

\(f'\left(x\right)=-3x^2+6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(2\right)=3\)

\(\Rightarrow\) Pt có 3 nghiệm pb khi \(-1< m< 3\)