Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chọn A

AB<AC

=>B nằm giữa A và C

=>AB+CB=AC

=>CB=1cm

Vì BC<BD

nên C nằm giữa B và D

=>BC+CD=BD

=>CD=5cm

Chọn E

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow t^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2\)

Pt trở thành:

\(7t+2\left(t^2-2\right)=5\Leftrightarrow2t^2+7t-9=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=1\\x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x+1=0\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+\dfrac{9}{2}x+1=0\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=1\)

\(f'\left(x\right)=x^2\left(x+2\right)\) có đúng 1 nghiệm bội lẻ \(x=-2\)

\(y=f\left(x^3-3x\right)\Rightarrow y'=\left(3x^2-3\right).f'\left(x^3-3x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x^2-3=0\\x^3-3x=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\left\{-1;1;-2\right\}\) hàm có 3 điểm cực trị

f
′
(
x
)
=
x
2
(
x
+
2
)
 có đúng 1 nghiệm bội lẻ 
x
=
−
2

y
=
f
(
x
3
−
3
x
)
⇒
y
′
=
(
3
x
2
−
3
)
.
f
′
(
x
3
−
3
x
)
=
0

⇒
[
3
x
2
−
3
=
0
x
3
−
3
x
=
−
2
  
⇒
[
x
2
−
1
=
0
(
x
−
1
)
2
(
x
+
2
)
=
0
 

⇒
x
=
{
−
1
;
1
;
−
2
}
 hàm có 3 điểm cực trị

ĐKXĐ: \(x>1\)

\(2log_5\left(x-1\right)-log_5\left(4x+m\right)=0\)

\(\Rightarrow log_5\left(x-1\right)^2=log_5\left(4x+m\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=4x+m\)

\(\Rightarrow m=x^2-6x+1\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-6x+1\) với \(x>1\)

\(f'\left(x\right)=2x-6=0\Rightarrow x=3\)

\(f\left(1\right)=-4\) ; \(f\left(3\right)=-8\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(x>1\) khi \(-8< m< -4\)

\(\Rightarrow m=\left\{-7;-6;-5\right\}\) có 3 giá trị nguyên

\(y'=x^2+2mx+2m\)

Hàm đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y'\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\\Delta'=m^2-2m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0\le m\le2\)

Có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn (1 và 2)

\(V_{OABC}=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{2a^3}{3}\)

\(AC=\sqrt{OA^2+AC^2}=a\sqrt{5}\)

Trong tam giác vuông OAC: \(OA^2=AH.AC\Rightarrow AH=\dfrac{OA^2}{AC}=\dfrac{OA^2}{\sqrt{OA^2+OC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{1}{5}\)

Do I là trung điểm AB \(\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{V_{AOIH}}{V_{OABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left(O;\left(ABC\right)\right).\dfrac{1}{2}AH.AI.sin\widehat{BAC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;\left(ABC\right)\right).\dfrac{1}{2}AC.AB.sin\widehat{BAC}}=\dfrac{AH}{AC}.\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{1}{10}\)

\(\Rightarrow V_{AOIH}=\dfrac{1}{10}.\dfrac{2a^3}{3}=\dfrac{a^3}{15}\)