Bài 7: Ôn tập cuối năm

Lời giải:

Với mọi $x\in\mathbb{R}$:
\(f(x)=a(2024^x-2024^{-x})+bx^{2023}+2025\)

\(\Rightarrow f(-x)=a(2024^{-x}-2024^{-(-x)})+b(-x)^{2023}+2025=a(2024^{-x}-2024^x)-bx^{2023}+2025\)

$\Rightarrow f(x)+f(-x)=4050$ 

Thay \(x=1-\sqrt[4]{8}=1-2^{\frac{3}{4}}\) thì:

\(f(2^{\frac{3}{4}}-1)=4050-f(1-2^{\frac{3}{4}})=4050-10=4040\)

Đặt \(x+\sqrt{4-x^2}=t\in\left[-2;2\sqrt{2}\right]\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}t=2\sqrt{2}\\-2\le t< 2\end{matrix}\right.\) mỗi giá trị t cho 1 giá trị x

- Với \(2\le t< 2\sqrt{2}\) mỗi giá trị t cho 2 giá trị x

\(t^2=4+2x\sqrt{4-x^2}\Rightarrow x\sqrt{4-x^2}=\dfrac{t^2-4}{2}\)

Pt trở thành: \(2t=m+\dfrac{t^2-4}{2}\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2-4t-4=-2m\) (1)

Pt có 3 nghiệm khi (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}t_1=2\sqrt{2}\\-2\le t_1< 2\end{matrix}\right.\\2\le t_2< 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(f\left(-2\right)=8\) ; \(f\left(2\right)=-8\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=4-8\sqrt{2}\)

Từ đồ thị \(\Rightarrow-8< -2m< 4-8\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-2+4\sqrt{2}< m< 4\)

\(a;b;c\in\left[0;1\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\\1-c\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow abc+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca-a-b-c+1\ge0\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)

\(\Rightarrow a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\)

Vậy \(P_{max}=1\)

Đặt \(g\left(x\right)=3x^2+6x+1-2m\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1\) ; \(g\left(-2\right)=-23-2m\) ; \(g\left(1\right)=4-2m\) ; \(g\left(3\right)=-8-2m\)

Do \(4-2m>-8-2m>-23-2m\) nên \(f\left(x\right)=\left|g\left(x\right)\right|\) đạt max tại \(-2\) hoặc \(1\)

Hay \(\max\limits_{\left[-2;3\right]}f\left(x\right)=\max\limits_{\left[-2;3\right]}\left(\left|2m+23\right|;\left|4-2m\right|\right)\ge\dfrac{\left|2m+23\right|+\left|4-2m\right|}{2}\)

\(\ge\dfrac{\left|2m+23+4-2m\right|}{2}=\dfrac{27}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2m+23=4-2m\Rightarrow m=-\dfrac{19}{4}\)

\(\sqrt{\left(x^2-5x\right)^2+8\left(x^2-5x\right)+16}+x^2-5x+4=10x^2-10x\left|x\right|\) (1)

\(\Leftrightarrow\left|x^2-5x+4\right|+x^2-5x+4=10x^2-x\left|x\right|\) (2)

- Với \(x\ge0\Rightarrow\left|x^2-5x+4\right|+x^2-5x+4=10x^2-10x.x=0\)

\(\Leftrightarrow\left|x^2-5x+4\right|=-\left(x^2-5x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4\le0\)

\(\Rightarrow1\le x\le4\)

- Với \(x< 0\Rightarrow x^2-5x+4>0\)

(2) trở thành:

\(2\left(x^2-5x+4\right)=10x^2-10x.\left(-x\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2+5x-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{4}{9}>0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của (1) là: \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\1\le x\le4\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi: \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+m\left(m-2\right)=0\) (3) có nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn:

TH1 \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2\notin\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=-1\) vào (3) \(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

Với \(m=1\Rightarrow x_2=1\in\left[1;4\right]\) (loại)

Với \(m=-1\Rightarrow x_2=-3\) (thỏa mãn)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1\in\left[1;4\right]\\x_2\ne-1\\x_2\notin\left[1;4\right]\end{matrix}\right.\) (4)

Để pt ko có nghiệm \(x=-1\Rightarrow m\ne\pm1\)

Khi đó (4) \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2+2x-2m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+2\left(x-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=m\\x=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1\le m\le4\\m-2< 1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1\le m-2\le4\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1\le m< 3\\4< m\le6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\left\{-1;1;2;5;6\right\}\) có 5 giá trị nguyên

Hi bạn, câu 29 này mình có cái cách này dùng cho các bài lim khi rơi vào trường hợp vô định thì bạn dùng quy tắc L'Hospital làm cho nhanh với trường hợp các bài trắc nghiệm như thế này

Ở bài 29 này đang rơi vào dạng \(\dfrac{0}{0}\) nên dùng quy tắc L'Hospital được nè. Bạn làm như sau:

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ge-3\end{matrix}\right.\)

Bước 1: Đạo hàm tử mẫu, ta được: \(\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x+3\right)^{-\dfrac{1}{2}}}{1}\)

Bước 2: Thay điểm cần tính giới hạn: (x=1)

ta sẽ được \(\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(lim_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a=1;b=4\)

Vậy S=4a-b=0

30.

\(y'=\dfrac{\left(x-2\right)'\left(x+2\right)-\left(x+2\right)'\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{x+2-\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{4}{\left(x+2\right)^2}\)

27.

D  sai. 

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc mặt đáy (trong khi D là "không vuông góc")