Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông là vì mỗi cạnh góc vuông của tam giác chính là đường cao cua tam giác nên 2 cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cắt nhau tại đỉnh góc vuông.

+ Nếu tam giác ABC có góc A tù => BC là cạnh lớn nhất

=> BC > BA

Kẻ đường cao BL thì LA; LC là hai hình chiếu của BA, BC => LA < LC

=> A nằm giữa L và C tức đường cao BL nằm ngoài tam giác ABC

Tương tự đường cao CK nằm ngoài tam giác ABC

Nên điểm cắt nhau của ba đường cao nằm ngoài tam giác

a) Từ hình vẽ ta có: LP ⊥ MN; MQ ⊥ LN

ΔMNL có S là giao điểm của hai đường cao LP và MQ nên S chính là trực tâm của tam giác (định lí ba đường cao).

=> NS cũng là đường cao trong tam giác hay NS ⊥ LM (đpcm).

b) ΔNMQ vuông tại Q có góc LNP = 50^o nên góc QMN = 40^o

ΔMPS vuông tại P có góc QMP = 40^o nên góc MSP = 50^o

Vì hai góc MSP và PSQ là hai góc kề bù nên suy ra:

góc PSQ = 180^o - 50^o = 130^o.

Giải tương tự như bài tập 59

∆MKI có JM là đường cao (l ⊥ d), đường thẳng KN cũng là đường cao ( giả thiết KN ⊥ MI). Hai đường cao cắt nhau tại N nên N là trực tâm ∆MKI. Vậy NI ⊥ MK

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, AC, AB tại N, M, E

a) ∆HBC có:

HN ⊥ BC nên HN là đường cao

BE ⊥ HC nên BE là đường cao

CM ⊥ BH nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của ∆HBC

b) Tương tự trực tâm của ∆AHB là C, ∆AHC là B

Hướng dẫn:

Xét hai tam giác vuông EBC và FCB có:

BC (cạnh huyền chung)

BE = CF (giả thiết)

Vậy ∆EBC = ∆FCB (cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)

hay ∆ABC cân tại A

+ Nếu tam giác có ba đường cao bằng nhau, tương tự như chứng minh trên, ta chứng minh được ba góc của chúng bằng nhau, suy ra đó là tam giác đều.

Điểm B là trực tâm

a) △ABC có : Hai đường cao BE và AD mà 2 đường này cùng cắt nhau tại điểm I ⇒ I là trực tâm

⇒ CI là đường cao còn lại ⇒ CI ⊥ AB

b) Xét △BEC có : góc EBC + gócBEC + góc BCE = \(180^0\)( định lí tổng ba góc )

⇒ góc EBC = \(180^0\) - góc BEC - góc BCE = \(180^0\)- \(90^0\)-\(40^0\)= \(50^0\)

Lại xét △BID có : góc BID + góc IBD + góc BDI = \(180^0\)

⇒ góc BID = \(180^0\) - \(90^0\) - \(50^0\) = \(40^0\)

Có góc BID + góc DIE = \(180^0\)( 2 góc kề bù )

⇒ góc DIE = \(180^0\) - góc BID = \(180^0-40^0\)= \(140^0\)

Giải

Trong ∆ABC ta có H là trực tâm nên

\(\text{ AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB}\)

Trong ∆AHB ta có:

Hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C.

Vậy C là trực tâm của ∆AHB.

Trong ∆HAC ta có:

Hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B, Vậy B là trực tâm của ∆HAC.

Trong ∆HBC ta có:

Hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A. Vậy A là trực tâm của ∆HBC.

Xét hai tam giác vuông BDC và CEB:

góc

BD = CE (gt)

BC cạnh huyền chung

Do đó: ∆BDC = ∆CEB (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

góc

Hay

Vậy ∆ABC cân tại A.

Trực tâm của ΔABC là đỉnh A

Trực tâm của ΔAHB là đỉnh H

Trực tâm của ΔAHC là đỉnh H