Question

Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{u_n+1}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Trước hết ta chứng minh \(0< u_n\le1+\sqrt{2}\):

Ta thấy: \(0< u_1=2\le1+\sqrt{2}\)

Giả sử điều này đúng đến \(0< u_k\le1+\sqrt{2}\)

Ta có: \(u_{k+1}=\dfrac{3u_k+1}{u_k+1}>0\)

Lại có: \(u_{k+1}=\dfrac{3u_k+1}{u_k+1}=3-\dfrac{2}{u_k+1}\le3-\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}\le3-1=2\le1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow0< u_{k+1}\le1+\sqrt{2}\)

Theo nguyên lí quy nạp, ta được: \(0< u_n\le1+\sqrt{2}\)

Khi đó ta có:

\(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+1}{u_n+1}-u_{n\text{​​}}\)

\(=\dfrac{3u_n+1-u_n^2-u_n}{u_n+1}\)

\(=\dfrac{-u_n^2+2u_n+1}{u_n+1}\)

\(=-\dfrac{\left(u_n-1-\sqrt{2}\right)\left(u_n-1+\sqrt{2}\right)}{u_n+1}\ge0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}\ge u_n\)

\(\Rightarrow\) Dãy tăng.