Chứng minh rằng :
\(f'\left(x\right)>0,\forall x\in R\) nếu
a) \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^9-x^6+2x^3-3x^2+6x-1\)
b) \(f\left(x\right)=2x+\sin x\)
Xác định a để \(g'\left(x\right)\ge0;\forall x\in R\) biết rằng
\(g\left(x\right)=\sin x-a\sin2x-\dfrac{1}{3}\sin3x+2ax\)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+2021x=0,\forall x\in R.\) Tính giá trị của biểu thức \(T=5f\left(2\right)+36f'\left(2\right)\) .
Giải phương trình \(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\) biết :
a) \(f\left(x\right)=\dfrac{1-\cos3x}{3};g\left(x\right)=\left(\cos6x-1\right)\cot3x\)
b) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\cos2x;g\left(x\right)=1-\left(\cos3x+\sin3x\right)^2\)
c) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\sin2x+5\cos x;g\left(x\right)=3\sin^2x+\dfrac{3}{1+\tan^2x}\)
Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra :
a) \(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1};f'\left(0\right)=?\)
b) \(y=\left(4x+5\right)^2;y'\left(0\right)=?\)
c) \(g\left(x\right)=\sin4x\cos4x;g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=?\)
1. Cho f(x) và g(x) có đạo hàm trên R. Tính đạo hàm của
a, y=f(x3)-g(x2)
b, y=\(\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}\)
2. Cho f(x)=\(\dfrac{m-1}{4}\)x4 + \(\dfrac{m-2}{3}\)x3-mx2+3x-1. Giải và biện luận pt: f'(x)=0
Chứng minh rằng phương trình
\(m\cos^2\left(x\right)+\cos\left(x\right)-m\sin^2\left(x\right)=0\)
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm \(\forall x\in R\).
Cho các hàm số :
\(f\left(x\right)=x^3+bx^2+cx+d\) (C)
\(g\left(x\right)=x^2-3x-1\)
a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left(1;-3\right);\left(-1;-3\right);f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x_o=1\)
c) Giải phương trình \(f"\left(\cos t\right)=g'\left(\sin t\right)\)
d) Tìm giới hạn \(\lim\limits_{z\rightarrow0}\dfrac{f"\left(\sin5z\right)+2}{g'\left(\sin3z\right)+3}\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{1+x}\)
Tính \(f\left(3\right)+\left(x-3\right)f'\left(3\right)\) ?
