Question

Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=6\)

Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+3\sqrt{zx}\)

Answer 1

\(P=\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}=\left(6-\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+2\sqrt{z}\right)+3\sqrt{zx}\)

\(P=-x+6\sqrt{x}-2z+12z=-\left(\sqrt{x}-3\right)^2-2\left(\sqrt{z}-3\right)^2+27\le27\)

\(P_{max}=27\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(9;0;9\right)\)