Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O;6cm) kẻ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (N;P€(O)) và cát tuyến MAB của (O) sao cho AB=6cm a, chứng minh: OPMN là tứ giác nội tiếp b, tính độ dài đoạn thẳng MN biết MO=10cm c, gọi H là trunh điểm đoạn thẳng AB chứng minh MON=MHN d, tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm O đã cho
a: Xét tứ giác OPMN có \(\widehat{OPM}+\widehat{ONM}=180^0\)
nên OPMN là tứ giác nội tiếp
b: \(MN=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)
a. MN là tiếp tuyến của (O ; 6cm) \(\Rightarrow MN\perp ON\left(a\right)\)
MP là tiếp tuyến của (O ; 6cm) \(\Rightarrow MP\perp OP\left(b\right)\)
Từ (a), (b), vậy : OPMN là tứ giác nội tiếp.
b. Do \(MN\perp ON\) ⇒ △MNO vuông tại N.
Áp dụng định lí Py-ta-go :
\(MO^2=MN^2+ON^2\)
\(\Leftrightarrow MN=\sqrt{MO^2-ON^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\left(cm\right)\)
c. H là trung điểm AB ⇒ \(OH\perp AB\left(c\right)\)
Từ (a), (c) ⇒ Tứ giác MNOH nội tiếp được một đường tròn.
Vậy : \(\hat{MHN}=\hat{MON}\) (cùng chắn cung MN).
d. Gọi diện tích của hình viên phân là S.
\(S=S_{OAB}-S_{\Delta AOB}\left(d\right)\)
Ta có : \(OA=OB=AB=6\left(cm\right)\)
⇒ △OAB là tam giác đều.
\(\Rightarrow S_{\Delta AOB}=9\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
Lại có : \(S_{AOB}=\dfrac{\text{π}R^2n}{360}=\dfrac{\text{π}.6^2.60}{360}=6\text{π}\left(cm^2\right)\)
Thay lại vào (d) : \(S=6\text{π}-9\sqrt{3}\approx3,26\left(cm^2\right)\)