Question

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến MB MC đến đường tròn(o) sao cho MD<MA, C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ OM. Gọi H là giao điểm của OM và BC . 

chứng minh MH.MO=MD.MA

Answer 1

Xét (O) có

\(\widehat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{MBD}=\widehat{BAD}\)

Xét ΔMBD và ΔMAB có

\(\widehat{MBD}=\widehat{MAB}\)

\(\widehat{BMD}\) chung

Do đó: ΔMBD đồng dạng với ΔMAB

=>\(\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{MD}{MB}\)

=>\(MB^2=MA\cdot MD\left(1\right)\)

Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

từ (2),(3) suy ra MO là đường trung trực của BC

=>MO\(\perp\)BC tại H

Xét ΔMBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)

Từ (1),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MD\cdot MA\)