từ 1 điểm a ở ngoài đường tròn (o;r) vẽ tiếp tuyến ab và cát tuyến amn của đường tròn (m nằm giữa a và n ; b thuộc cung lớn mn) gọi c là điểm chính giữa của cung nhỏ mn đường thẳng mn lần lượt cắt oc và bc tại i và e
a). chứng minh aiob nội tiếp
b). chứng minh tam giác abe cân
c). biết ab=2r tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp tứ giác aiob theo r
d). kẻ tiếp tuyến thứ hai al của (o) gọi k là giao điểm của lb và ao chứng minh: am.an=al^2 ; ak.ao=am.an
a: C là điểm chính giữa của cung MN
=>OC\(\perp\)MN tại I và I là trung điểm của MN; \(sđ\stackrel\frown{CN}=sđ\stackrel\frown{CM}\)
Xét tứ giác ABOI có \(\widehat{ABO}+\widehat{AIO}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOI là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BC}\)
Xét (O) có
\(\widehat{BEM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM và CN
=>\(\widehat{BEM}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{CN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BC}\)
=>\(\widehat{ABE}=\widehat{AEB}\)
=>ΔABE cân tại A
d: Xét (O) có
AB,AI là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AI
=>A nằm trên đường trung trực của BI(1)
Ta có: OB=OI
=>O nằm trên đường trung trực của BI(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BI
=>OA\(\perp\)BI tại K và K là trung điểm của BI
Xét (O) có
\(\widehat{AIM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến IA và dây cung IM
\(\widehat{MNI}\) là góc nội tiếp chắn cung MI
Do đó: \(\widehat{AIM}=\widehat{MNI}\)
Xét ΔAIM và ΔANI có
\(\widehat{AIM}=\widehat{ANI}\)
\(\widehat{IAM}\) chung
DO đó: ΔAIM~ΔANI
=>\(\dfrac{AI}{AN}=\dfrac{AM}{AI}\)
=>\(AI^2=AM\cdot AN\)
Xét ΔAIO vuông tại I có IK là đường cao
nên \(AK\cdot AO=AI^2\)
=>\(AK\cdot AO=AM\cdot AN\)