Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình đường thẳng AB, AC lần lượt là \(5x-y-2=0\) và \(x-5y+14=0\) . Gọi D là trung điểm của BC. E là trung điểm của AD. \(M\left(\frac{9}{5};\frac{8}{5}\right)\) là hình chiếu vuông góc của D lên BE. Tìm toạ độ các điểm A, B, C ?
Từ gt => A(1;3)
Phương trình đường phân giác:\(\frac{\left|5x-y-2\right|}{\sqrt{5^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|x-5y+14\right|}{\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-y-2=x-5y+14\\5x-y-2=-x+5y-14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-4=0\\x-y+2=0\end{matrix}\right.\)
Giả sử B(b;5b-2)
Xét D thuộc đường thẳng x-y+2=0 =>D(d;2+d)
Lại có: \(M\left(\frac{9}{5};\frac{8}{5}\right)\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MD}\left(d-\frac{9}{5};2+d-\frac{8}{5}\right)\\\overrightarrow{MB}\left(b-\frac{9}{5};5b-2-\frac{8}{5}\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MD}\left(d-\frac{9}{5};d+\frac{2}{5}\right)\\\overrightarrow{MB}\left(b-\frac{9}{5};5b-\frac{18}{5}\right)\end{matrix}\right.\)
Mà M là hình chiếu của D trên EB =>
\(\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{MB}=0\Rightarrow3\left(10b-9\right)d=-b-9\)
b=10/9: ko tm
b khác 10/9\(\Rightarrow d=\frac{-b-9}{3\left(10b-9\right)}\)
Khi đó hoành độ của C: 2d-b=\(\frac{-b-9}{3\left(10b-9\right)}-b=-\frac{30b^2-26b+9}{3\left(10b-9\right)}\)
tung độ của C: 2(d+2)-(5b-2)=\(-\frac{150b^2-313b+180}{3\left(10b-9\right)}\)
=>\(-\frac{30b^2-26b+9}{3\left(10b-9\right)}-5\left(\text{}-\frac{150b^2-313b+180}{3\left(10b-9\right)}\right)+14=0\)(Thu gọn ta đc 1 pt vô nghiệm)
Làm tương tự với trường hợp còn lại