Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;-1), B(3;2) và C(5;-4). a) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC b) Tìm điểm K nằm trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, K thẳng hàng. c) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Cho E(m;0) tính giá trị m sao cho tam giác ABE vuông tại E. e) Tim M thuộc trục tung sao cho MA² + MB² nhỏ nhất.
a: A(1;-1); B(3;2); C(5;-4)
\(AB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(2+1\right)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
\(AC=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(-4+1\right)^2}=5\)
\(BC=\sqrt{\left(5-3\right)^2+\left(-4-2\right)^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\)
Chu vi tam giác ABC là:
\(C_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{13}+5+2\sqrt{10}\)
Xét ΔABC có \(cosBAC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{13+25-40}{2\cdot\sqrt{13}\cdot5}\)
\(=\dfrac{-2}{2\sqrt{13}\cdot5}=\dfrac{-1}{5\sqrt{13}}\)
=>\(sinBAC=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{5\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{324}{325}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{65}\)
Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot sinBAC=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\cdot5\cdot\dfrac{18\sqrt{13}}{65}=9\)
b: K nằm trên trục hoành nên K(x;0)
A(1;-1); B(3;2); K(x;0)
\(\overrightarrow{AB}=\left(3-1;2+1\right)\)
=>\(\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)\)
\(\overrightarrow{AK}=\left(x-1;0+1\right)=\left(x-1;1\right)\)
Để A,B,K thẳng hàng thì \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
=>\(x-1=\dfrac{2}{3}\)
=>\(x=\dfrac{5}{3}\)
=>\(K\left(\dfrac{5}{3};0\right)\)
c: I(x;y); A(1;-1); B(3;2); C(5;-4)
\(IA^2=\left(1-x\right)^2+\left(-1-y\right)^2=\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)
\(IB^2=\left(3-x\right)^2+\left(2-y\right)^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2\)
\(IC^2=\left(5-x\right)^2+\left(-4-y\right)^2=\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2\)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}IA^2=IB^2\\IB^2=IC^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2\\\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+2+2y+2=-6x+9-4y+4\\-6x+9-4y+4=-10x+25-8y+16\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+2y+6x+4y=13-4=9\\-6x-4y+10x+8y=25+16-13=28\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+6y=9\\4x+4y=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y=-19\\2x+3y=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{19}{2}\\2x=\dfrac{9}{2}-3y=\dfrac{9}{2}-3\cdot\dfrac{-19}{2}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{57}{2}=\dfrac{66}{2}=33\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{33}{2}\\y=-\dfrac{19}{2}\end{matrix}\right.\)
d:
E(m;0); A(1;-1); B(3;2)
\(\overrightarrow{EA}=\left(1-m;-1\right);\overrightarrow{EB}=\left(3-m;2\right)\)
ΔEAB vuông tại E
=>\(\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB}=0\)
=>\(\left(1-m\right)\left(3-m\right)+\left(-1\right)\cdot2=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left(m-3\right)-2=0\)
=>\(m^2-4m+1=0\)
=>\(m=2\pm\sqrt{3}\)