Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ = x - 1 2 = y 1 = z + 1 - 1 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 1 = 0. Mặt phẳng (Q) chưa ∆ và tạo với (P) một góc α nhỏ nhất, khi đó góc α gần với giá trị nào nhất sau đây?

A.  6 o

B.  8 o

C.  10 o

D.  5 o

Answer 1

Gọi n ( a,b,c ) là VTPT của (Q)

⇒ n a , b , c . u 2 ; 1 ; - 1 = 0 ⇔ 2 a + b - c = 0 ⇒ c = 2 a + b

Khi đó góc α giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) nhỏ nhất khi lớn nhất với 

là VTPT của ta có 

cos α = n . n ' → n → . n ' → = 2 z - b + 2 c 3 a 2 + b 2 + c 2 = 6 a + b 3 5 a 2 + 4 a b + 2 b 2

⇒ P 2 = 36 a 2 + 12 a b + b 2 9 5 a 2 + 4 a + 2 b 2 = 36 t 2 + 12 t + 1 9 5 a 2 + 4 a + 2 b 2

Xét hàm số  

f t = 36 t 2 + 12 t + 1 9 5 a 2 + 4 a + 2 b 2 ⇒ f ' t = 2 42 t 2 + 67 t + 10 9 5 a 2 + 4 a + 2 b 2 = 0 ⇔ t = - 1 6 t = - 10 7

Vậy GTLN của P = f - 10 7 = 53 54 = 0 , 99

⇒ α = 8 o

Đáp án cần chọn là B