Với x = 0 thì \(y^2=2\) (loại)
Với \(x\ge1\) thì
\(2^x=y^2-1=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)
Ta thấy (y - 1) và (y + 1) là 2 số chẵn liên tiếp. Mà \(2^x\) chỉ có ước nguyên tố là 2 nên (y - 1) và (y + 1) cũng chỉ có ước nguyên tố là 2.
Từ đây ta suy ra được:
\(\hept{\begin{cases}y-1=0\\y+1=2\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}y-1=2\\y+1=4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\left(l\right)\\y=3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=3\)
2^x + 1 = y^2
2^x = y^2-1
2^x =(y-1)(y+1)
=> y+1 = 2^x/(y-1)
Do y+1 nguyên => y-1 là ước của 2^x, chỉ có thể có dạng 2^n với n>=1 hoặc y-1 =1 (loại)
=> y-1 có dạng 2^n => y-1 = 2^n
=> y+1 = 2^n +2
=> 2^x = 2^n(2^n+2)= 2^(n+1).[2^(n-1) +1] (*)
Nếu n> 1 thì 2^(n-1) +1 là số lẻ trong khi 2^x chẵn => (*) Vô nghiệm
Với n=1 => y =3 => x= 3