Question

tìm x y nguyên biết \(2^x-3^y=7\)

Answer 1

Lời giải:

Dễ thấy $x,y$ không âm và $x\geq 3$

Nếu $y=0$ thì $x=3$ (thỏa mãn)

Nếu $y\geq 1$:

$2^x=3^y+7\equiv 1\pmod 3$

$\Leftrightarrow (-1)^x\equiv 1\pmod 3\Rightarrow x$ chẵn.

Với $x\geq 3$ thì $3^y=2^x-7\equiv 1\pmod 4$

$\Leftrightarrow (-1)^y\equiv 1\pmod 4\Rightarrow y$ chẵn.

Đặt $x=2a; y=2b$ với $a,b$ là số tự nhiên.

Khi đó: $(2^a-3^b)(2^a+3^b)=7$

$\Rightarrow 2^a-3^b=1; 2^a+3^b=7$

$\Rightarrow 2^{a+1}=8\Rightarrow a=2$ kéo theo $b=1$

$\Rightarrow x=4; y=2$

Vậy $(x,y)=(3,0); (4,2)$