Question

Tìm x thuộc R để biểu thức nhân giá trị nguyên: \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+8}\)

Answer 1

\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+8}\left(x\ge0\right)=\dfrac{\sqrt{x}+8-10}{\sqrt{x}+8}=1-\dfrac{10}{\sqrt{x}+8}\)

Để biểu thức nguyên thì \(10⋮\sqrt{x}+8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+8\inƯ\left(10\right)=\left\{-10;-5;-2;-1;1;2;5;10\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{-18;-13;-10;-9;-7;-6;-3;2\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{2\right\}\Leftrightarrow x=4\)

Answer 2

Với \(x\ge0\) có : \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+8}=\dfrac{\sqrt{x}+8-10}{\sqrt{x}+8}=1-\dfrac{10}{\sqrt{x}+8}\)

Để bthuc nhận gt nguyên thì :

\(\dfrac{10}{\sqrt{x}+8}\in Z\Leftrightarrow10⋮\sqrt{x}+8\) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+8\inƯ\left(10\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}+8=\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}\ge0\) nên ta chỉ xét \(\sqrt{x}+8=\left\{1;2;5;10\right\}\)

Ta có bảng sau

\(\sqrt{x}+8\)	1	2	5	10
\(\sqrt{x}\)	-7(loại)	-6(loại)	-3(loại)	2
\(x\)				4(thỏa mãn)

Vậy x=4 là gtri cần tìm