số (n-2).(n+4) có các ước là 1; n-2; n+ 4 và (n -2) .(n+4)
Để tích trên là số nguyên tố thì hoặc n- 2 = 1 hoặc n + 4 = 1
+) n - 2 = 1 => n = 3 => (n - 2).(n+4) = 7 là số nguyên tố (Thỏa mãn)
+) n + 4 = 1 => n = - 3 < 0 Loại
Vậy n = 3 thì...
- Nếu n chẵn thì (n - 2) chẵn do đó \(\left(n-2\right)\left(n+4\right)\) chia hết cho 2 (là hợp số) \(\Rightarrow\) loại.
- Nếu n lẻ thì :
+) Xét n = 1 thì n - 2 < 0 \(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n+4\right)\) không thể là số nguyên tố
+) Xét n = 3 thì n - 2 = 1 ; n + 4 = 7 \(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+4\right)\) là số nguyên tố.
+) Nếu n > 3 thì n chia 3 dư 1 \(\Rightarrow\) n = 3k + 1 (k \(\in\) N). Do đó \(\left(n-2\right)\left(n+4\right)\) luôn là hợp số.
Vậy n = 3 thỏa mãn điều kiện đề bài.