a) Ta có:
\(A=2n^2+n-3=\left(2n^2-2n\right)+\left(3n-3\right)\\ =2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)\\ =\left(2n+3\right)\left(n-1\right)\)
Vì A là số nguyên tố => `2n+3` và `n-1` phải có 1 số là số nguyên tố còn số là lại là 1
Mà n là số tự nhiên `=>2n+3>n-1`
`=>n-1=1=>n=2` (vì số nguyên tố phải lớn hớn 1)
Thử lại `A=2*2^2+2-3=8+2-3=7` là số nguyên tố
b) Ta có:
\(B=n^4+n^2+1=\left(n^4-n\right)+\left(n^2+n+1\right)\\ =n\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\\ =n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\\ =\left(n^2+n+1\right)\left[n\left(n-1\right)+1\right]\\ =\left(n^2+n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)
Vì B là số nguyên tố => `n^2+n+1` và `n^2-n+1` phải có 1 số số nguyên tố còn số còn lại là 1
Mà n là số tự nhiên `=>n^2+n+1>n^2-n+1`
`=>n^2-n+1=1=>n^2-n=0=>n(n-1)=0=>n=0` hoặc `n=1` (vì số nguyên tố phải lớn hơn 1)
Thử lại
`B=0^4+0^2+1=1` không phải là số nguyên tố
`B=1^4+1^2+1=3` là số nguyên tố
A)
- **\( n = 0 \):**
\[
A = 2(0)^2 + 0 - 3 = -3 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 1 \):**
\[
A = 2(1)^2 + 1 - 3 = 0 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 2 \):**
\[
A = 2(2)^2 + 2 - 3 = 7 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 3 \):**
\[
A = 2(3)^2 + 3 - 3 = 18 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 4 \):**
\[
A = 2(4)^2 + 4 - 3 = 29 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
Vậy \( n = 2 \) và \( n = 4 \) làm cho \( A \) là số nguyên tố.
B)
- **\( n = 0 \):**
\[
B = (0)^4 + (0)^2 + 1 = 1 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 1 \):**
\[
B = (1)^4 + (1)^2 + 1 = 3 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 2 \):**
\[
B = (2)^4 + (2)^2 + 1 = 21 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 3 \):**
\[
B = (3)^4 + (3)^2 + 1 = 91 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
- **\( n = 4 \):**
\[
B = (4)^4 + (4)^2 + 1 = 273 \quad (\text{không là số nguyên tố})
\]
Từ tính toán trên, chỉ có \( n = 1 \) làm cho \( B \) là số nguyên tố.